LME · T0C · A matemática da medida

Tudo é número.

— atribuída aos pitagóricos, século VI a.C.

Os pitagóricos foram a escola reunida em torno de Pitágoras de Samos (c. 570–495 a.C.). A frase não tem fonte primária: chegou até nós pela tradição, sobretudo pelo que Aristóteles escreveu sobre eles — por isso entra assinada como "atribuída". Para os pitagóricos, a harmonia de uma corda e o movimento dos astros eram razões entre números. Esta trilha leva a ideia ao pé da letra: um modelo da Mecânica só se encontra com o dado por meio de números — e eles precisam estar bem escritos.

Ato I — O Gancho

Na T0B você previu antes de medir. Agora imagine a próxima trilha de bancada. O modelo do pêndulo simples diz que, para um fio de 0,500 m, o período é T = 2π√(L/g). Pedro põe g = 9,8 m/s² na calculadora e lê: 1,419 229 6 s. Na bancada, dez oscilações dão 14,2 s no cronômetro — um período de 1,42 s.

Pedro compara 1,419 229 6 com 1,42, vê que não são iguais e escreve no relatório: o modelo falhou por 0,000 770 4 s.

O modelo não falhou. O que falhou foi a conta. O g entrou com dois algarismos significativos, e o resultado não pode ter mais que isso: a previsão é 1,4 s, e o dado, 1,42 s, concorda com ela. Pedro comparou um número com sete algarismos inventados com um número medido — e culpou o modelo por um erro que era de escrita.

É o perigo que esta trilha previne. No Laboratório de Mecânica (LME), o experimento é objeto: o modelo prevê, a bancada mede, e a decisão "o modelo aguentou?" depende de comparar os dois na escala certa e com os algarismos que cada um tem o direito de ter. Para isso são precisas cinco ferramentas — as mesmas que a Introdução ao Laboratório (ILB) deveria ter deixado prontas, e que a T0B mostrou que não estão: ler e escrever decimais, contar algarismos significativos, arredondar, operar potências e escrever em potência de 10.

Como estudar. A T0C não tem encontro: é o Pré-Lab desta semana. Leia um tópico, faça os oito itens dele na Folha de Atividades (FA) e só então passe ao seguinte. O Testinho (TN) fecha a trilha. Nada vale nota; o placar da FA diz para onde voltar. Na T02, em 20/10, a bancada começa por ela.

Ato II — O Desenvolvimento

Os cinco tópicos seguem a ordem em que uma comparação modelo × dado precisa deles. Cada um termina com a mesma pergunta: que decisão sobre o modelo esta ferramenta permite — ou impede? A ordem de grandeza e a estimativa de Fermi ficaram na T0B; aqui entra o procedimento que elas pressupõem.

Tópico 1 — Números decimais: escrita e leitura

O valor de g que os livros dão é 9,8 m/s². Em Ouro Preto, por causa da latitude e da altitude, ele vale cerca de 9,78 m/s². Antes de decidir se a diferença importa, é preciso ler os dois números do mesmo jeito.

Posição. À direita da vírgula estão os décimos, centésimos e milésimos: em 9,78, o 7 são sete décimos e o 8, oito centésimos. O decimal se lê pela última ordem ("novecentos e setenta e oito centésimos") ou algarismo por algarismo ("nove vírgula sete oito"); misturar as duas leituras é ditar outro número ao colega.

Comparar. Iguale as casas: 9,80 e 9,78. A diferença é de 0,02 m/s² — dois centésimos, cerca de 0,2 % de g. Comparar só é possível depois de alinhar as ordens; "9,78 tem mais algarismos" não diz nada sobre qual é maior.

O zero à direita. 9,8 e 9,80 têm o mesmo valor, mas não dizem a mesma coisa: o segundo afirma que alguém conhece o centésimo. Numa comparação modelo × dado, o zero que você acrescenta a mais é uma informação que você inventou.

Quadro 1 — Ler antes de comparar

Número	Última ordem	O que ele afirma
9,8 m/s²	décimo	conheço g até o décimo
9,78 m/s²	centésimo	conheço g até o centésimo
9,80 m/s²	centésimo	conheço até o centésimo — e o centésimo é zero
1,42 s	centésimo	o cronômetro (10 oscilações) chegou ao centésimo do período

Eixo Didático — a dobra da licenciatura

A turma de ensino médio compara decimais pelo comprimento: "9,78 é maior porque tem mais números". Igualar as casas antes de comparar é o gesto que desfaz isso — e é o mesmo que o licenciando vai fazer para comparar previsão e dado.

Eixo Histórico-Cultural — Ouro Preto

Simon Stevin publicou De Thiende em 1585 para que comerciantes fizessem contas com décimos em vez de frações. O ouro de Ouro Preto, dois séculos depois, ainda se pesava em oitavas, num sistema de frações.

Eixo Metrológico — a ciência da medida

A escrita do número segue o QGU (seções 3.5 e 3.6): vírgula decimal, zero à esquerda, grupos de três com pequenos espaços.

Destino do modelo — a mineração

Na usina, o teor de ferro de um lote é dado com uma casa decimal (por exemplo, 64,5 %). Ler 64,5 como "sessenta e quatro vírgula cinquenta" já é vender um lote diferente.

Tópico 2 — Algarismos significativos

Na T0B, vinte grânulos de minério foram para a balança de 0,1 g. Suponha que o visor tenha mostrado 0,3 g. Quanto pesa um grânulo — e com quantos algarismos?

O que são. Algarismos significativos são os corretos mais o primeiro duvidoso. O visor de 0,1 g dá um único algarismo para 0,3 g: o 3, já duvidoso. A massa de um grânulo, 0,3 g 20 = 0,015 g, tem direito a um algarismo significativo: 0,02 g (o arredondamento está no Tópico 3). O 20 é contagem: exato, não limita.

Por que importam aqui. O número de significativos do dado é o limite do que você pode afirmar sobre o modelo. Com um algarismo na massa do grânulo, nenhum modelo de massa pode ser "confirmado" na segunda casa.

Quadro 2 — As regras de identificação

Regra	Exemplo	Significativos
não nulo é significativo	1,42 s	3
zero entre não nulos é	0,500 m	3
zero à esquerda nunca é	0,015 g	2
zero à direita depois da vírgula é	9,80 m/s²	3
zero à direita em inteiro é ambíguo	1 500 t	2, 3 ou 4?
a potência de 10 resolve	1,50 × 10³ t	3

Eixo Didático — a dobra da licenciatura

Três alunos medem o mesmo fio de pêndulo; o algarismo em que eles discordam é o duvidoso. A regra vem depois, como nome do que eles já viram.

Eixo Histórico-Cultural — Ouro Preto

Na Escola de Minas de Ouro Preto, fundada em 1876, cubar uma jazida já era dar cada número com os algarismos que a sondagem permitia — nem mais, nem menos.

Eixo Metrológico — a ciência da medida

Os significativos são a forma escrita da resolução do instrumento (VIM). O dado não pode julgar o modelo além do que o instrumento sabe.

Destino do modelo — a mineração

Uma balança rodoviária que resolve 10 kg não pode confirmar uma previsão de carga em quilos.

Tópico 3 — Regras de arredondamento

Pedro cometeu dois erros no Ato I. O primeiro foi não arredondar a previsão. O segundo teria sido arredondá-la errado.

O procedimento. (1) Escolha o critério: casas decimais em somas e subtrações; algarismos significativos em produtos, quocientes e raízes. (2) Ache o último dígito a manter. (3) Olhe o primeiro dígito a descartar: menor que 5, mantém; maior que 5, soma 1; igual a 5, sem nada depois, aplica a regra do par — o último mantido fica par. Se o 5 vem seguido de algarismo não nulo, o número já passou do meio: soma 1. E arredonda-se uma vez, no fim.

Quadro 3 — A previsão do pêndulo, no critério certo

Passo	O que acontece
critério	raiz e divisão: significativos; L tem 3 e g tem 2 ⇒ 2
calculadora	1,419 229 6 s
último mantido	o 4 (1,4)
primeiro descartado	1, menor que 5: mantém
previsão	1,4 s, contra o dado 1,42 s: concordam

A discordância falsa. Se Pedro tivesse usado g = 9,78 m/s² (três significativos), a previsão seria 1,42 s — e a comparação ficaria mais fina. Arredondamento não é cosmético: é o que define a que distância o modelo e o dado podem discordar sem que isso signifique nada.

A regra do par, nos grânulos. 0,015 g com um significativo: último mantido 1 (ímpar), descartado 5 exato ⇒ sobe: 0,02 g. Se fosse 0,025 g: último mantido 2 (par) ⇒ fica: 0,02 g. Se fosse 0,0151 g: o 5 vem seguido de não nulo ⇒ sobe: 0,02 g.

Eixo Didático — a dobra da licenciatura

Some 0,5 + 1,5 + 2,5 + 3,5 com a turma: "sempre para cima" dá 10, a regra do par dá 8, e a soma verdadeira é 8,0. A regra deixa de ser capricho.

Eixo Histórico-Cultural — Ouro Preto

Cobrar o quinto do ouro, na Casa dos Contos, era dividir por cinco um peso que raramente dava conta exata: decidir quem fica com a fração é um problema antigo desta cidade.

Eixo Metrológico — a ciência da medida

A regra do par é a adotada pelas normas técnicas de arredondamento: em muitas operações, o desvio para cima e para baixo se cancela.

Destino do modelo — a mineração

Somar mil cargas arredondadas "sempre para cima" superestima a produção do mês. Com a regra do par, o erro não se acumula.

Tópico 4 — Potenciação

Antes de medir, um modelo pode ser descartado só olhando os expoentes. Suponha que alguém proponha T = 2π√(g/L). A unidade seria √((m·s⁻²/m) = √(s⁻² = s⁻¹ — um período medido em "por segundo". O modelo cai sem ir à bancada.

O conceito e as propriedades. a^n é o produto de n fatores a. As seis propriedades, com número e com unidade:

Quadro 4 — Propriedades, com a unidade junto

Propriedade	Regra	Na Mecânica
produto de mesma base	a^m a^n = a^m+n	kg·m·s⁻²·m = kg·m²·s⁻² (J)
quociente de mesma base	a^m/a^n = a^m-n	m/(m·s⁻² = s²
potência de potência	(a^m)^n = a^mn	(s²^1/2 = s
potência de um produto	(ab)^n = a^n b^n	(10⁻¹ m)³ = 10⁻³ m³
expoente zero	a⁰ = 1	m/m = m⁰ = 1
expoente negativo	a^-n = 1/a^n	s⁻¹ = 1/s

A razão dos diâmetros ao cubo. Na T0B, a massa do grão de areia foi inferida da massa do grânulo: m_grão = m_grânulo · (d_grão/d_grânulo)³. Com diâmetros de 0,2 mm e 2 mm, a razão é 10⁻¹, e o cubo, 10⁻³: o grão tem um milésimo da massa do grânulo. É a potência de um quociente.

Eixo Didático — a dobra da licenciatura

O erro clássico, 2³·2² = 4⁵, some quando o aluno escreve os fatores por extenso uma vez. A análise dimensional é a mesma conta, com unidades no lugar de números.

Eixo Histórico-Cultural — Ouro Preto

A massa específica dos minérios do Quadrilátero, em kg/m³, é uma unidade com expoente negativo que os engenheiros da Escola de Minas usavam para cubar jazidas.

Eixo Metrológico — a ciência da medida

Toda unidade derivada do QGU é um produto de potências das unidades de base; conferir os expoentes é a primeira auditoria de um modelo.

Destino do modelo — a mineração

Cubagem de pilha: volume em m³ vezes massa específica em kg·m⁻³ dá kg — o expoente do metro se cancela, e é por isso que a conta faz sentido.

Tópico 5 — Potências de 10

A T0B usou a potência de dez para estimar; aqui ela serve para escrever e calcular sem errar o expoente. Do grão à cava, as medidas atravessam onze ordens de grandeza, e ninguém as escreve por extenso sem perder um zero.

Mover a vírgula. Multiplicar por 10^n leva a vírgula n casas para a direita; por 10^-n, n casas para a esquerda. Na dúvida, confira com um número fácil: multiplicar por 10⁻¹ = 0,1 tem de diminuir o número.

Escrever. Notação científica: a × 10^n, com 1 ≤ a < 10. Número maior que 1 ⇒ expoente positivo; menor que 1 ⇒ negativo; conta-se quantas casas a vírgula andou.

Quadro 5 — Do grão à cava, em potência de 10

Medida	Notação científica	Escala
grão de areia: 0,000 2 m	2 × 10⁻⁴ m	a vírgula andou 4 casas à direita
grânulo: 0,02 g	2 × 10⁻⁵ kg	grama para kilograma: mais 3 casas
fio do pêndulo: 0,500 m	5,00 × 10⁻¹ m	os zeros à direita ficam
cava: 1 000 m × 1 000 m × 100 m	1 × 10⁸ m³	10³ · 10³ · 10² = 10⁸

Operar. Multiplicam-se os números e somam-se os expoentes; dividem-se e subtraem-se. A massa da cava, com massa específica de 3 × 10³ kg/m³: (1 × 10⁸(3 × 10³ = 3 × 10¹¹ kg = 3 × 10⁸ t.

Eixo Didático — a dobra da licenciatura

Peça o sentido da vírgula pelo tamanho do resultado, nunca por regra decorada: "ficou maior ou menor?".

Eixo Histórico-Cultural — Ouro Preto

Arquimedes, em O Contador de Areia, inventou ordens de números para escrever quantos grãos caberiam no universo — a ideia da notação científica, quase dois mil anos antes dela.

Eixo Metrológico — a ciência da medida

Os prefixos do QGU são potências de 10 com nome; as constantes da Tabela 1 só cabem nessa escrita.

Destino do modelo — a mineração

A produção anual de uma mina se escreve em 10⁷ toneladas; a do grão, em 10⁻⁸ kg. A mesma régua, dezoito ordens de grandeza de distância.

Ato III — O Fechamento

O relatório de Pedro, reescrito. Leitura: 1,419 229 6 e 1,42 são decimais de última ordem diferente (Tópico 1). O g tinha dois significativos (Tópico 2). Raiz e divisão pedem o critério dos significativos; a previsão é 1,4 s (Tópico 3). A unidade de √(L/g) é segundo, e o modelo passou na auditoria dos expoentes antes de chegar à bancada (Tópico 4). Em potência de 10, 1,4 × 10⁰ s (Tópico 5). A frase certa no relatório: o modelo prevê 1,4 s; o dado, 1,42 s; concordam dentro dos algarismos da previsão.

A T02, Lidando com a Incerteza, troca "dentro dos algarismos" por um número: a incerteza. Mas ela parte daqui. Sem as cinco ferramentas, toda incerteza é calculada sobre números mal escritos — e todo modelo é julgado por erros que não são dele.

Agora a Folha de Atividades. Oito itens por tópico; os últimos de cada um pedem uma decisão sobre um modelo.

Ciência e Arte

Xilogravura: Limite Circular III, 1959 — M. C. Escher

Em 1959, o gravador holandês M. C. Escher cortou em madeira Limite Circular III: peixes que nadam em fileiras curvas dentro de um disco, cada fileira menor que a anterior, até que, perto da borda, ficam pequenos demais para o olho. A regra é uma só, repetida; o que muda é a escala. Escher chegou ao desenho estudando uma figura de geometria hiperbólica que o matemático H. S. M. Coxeter lhe mostrou — um artista lendo matemática para conseguir desenhar o infinito num espaço finito.

É a potência de 10 vista por dentro. O peixe da borda é o mesmo peixe do centro, multiplicado muitas vezes por um fator menor que 1. Errar o expoente, na gravura, seria pôr um peixe gigante na borda — e o desenho inteiro deixaria de fazer sentido, como a previsão de Pedro com sete algarismos inventados.

Três cérebros, o mesmo gesto. Os pitagóricos disseram que tudo é número; Galileu, que abre a sua Folha de Atividades, escreveu que o livro da natureza está em língua matemática; e Escher fez a escala virar imagem, peixe a peixe, até a borda. O número como linguagem, a medida como leitura, a escala como forma — três criações do mesmo cérebro, como escreveu Miguel Nicolelis.

Básica

CAMPOS, A. A.; ALVES, E. S.; SPEZIALI, N. L. Física experimental básica na universidade. 2. ed. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008.

PIACENTINI, J. J. et al. Introdução ao laboratório de física. 2. ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 2018.

SANTORO, A. et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 2. ed. Rio de Janeiro: EdUERJ, 2013.

Documentos e normas

INMETRO. Quadro Geral de Unidades de Medida no Brasil. [S. l.]: Inmetro, 2021.

INMETRO. Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM): conceitos fundamentais e gerais e termos associados. Duque de Caxias: Inmetro, 2012.

Epígrafes e obras citadas

ARISTÓTELES. Metafísica, livro A. (fonte da tradição sobre os pitagóricos)

GALILEI, G. O Ensaiador. 1623. (abre a Folha de Atividades desta trilha)

ESCHER, M. C. Limite Circular III. Xilogravura, 1959.

STEVIN, S. De Thiende. Leiden: Christoffel Plantijn, 1585.

ARQUIMEDES. O Contador de Areia. Século III a.C.