“Ninguém ignora tudo. Ninguém sabe tudo. Todos nós sabemos alguma coisa. Todos nós ignoramos alguma coisa.”
Na bancada da T0B, a tarefa parecia a mais simples do encontro: medir a espessura de uma folha de papel. Pedro mediu a pilha de 100 folhas com a régua — 10,4 mm — e dividiu na calculadora. O visor mostrou 0,104. Até aí, nada de errado.
Depois veio o tempo de reação. Bárbara soltou a régua, Lucas a segurou depois de ela cair 18,0 cm, e a conta t=√(2h/g) deu, no visor, 0,191 662 969 8. Lucas copiou os dez algarismos no Roteiro de Bancada. Sofia olhou e perguntou: você mediu isso até o bilionésimo de segundo, com uma régua?
O professor Julio não corrigiu ninguém. Escreveu na lousa cinco perguntas e disse que, por trás delas, estava tudo o que faltava para a bancada fazer sentido:
A turma inteira, ele contou depois, tropeçou em pelo menos uma delas. Não é falta de inteligência: é ferramenta que ficou para trás no caminho da escola. Esta trilha devolve as cinco ferramentas, uma por tópico, sempre a partir de uma medida que você já fez.
Como estudar. Esta trilha não tem encontro próprio: é o seu Pré-Lab da semana. Leia um tópico, faça os oito itens dele na Folha de Atividades (FA), confira o porquê de cada resposta e só então passe ao tópico seguinte. O Testinho (TN) fecha a trilha. Nada aqui vale nota — e o placar da FA diz exatamente para onde voltar.
Cinco tópicos, na ordem em que uma medida precisa deles: primeiro ler e escrever o número; depois saber quantos algarismos ele tem o direito de ter; depois cortar os que sobram; e, por fim, as duas ferramentas que tornam qualquer escala manejável — a potência e a potência de 10.
A moeda da Estação A mediu 23,5 mm. Antes de qualquer conta, esse número precisa ser lido e escrito do mesmo jeito por todo mundo — e é aí que a primeira lacuna aparece.
O sistema é posicional. Cada algarismo vale conforme a posição que ocupa. À esquerda da vírgula estão as unidades, dezenas, centenas; à direita, as ordens decimais: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimo. Cada posição vale um décimo da que está à sua esquerda.
| Ordem | Valor | Exemplo da bancada |
|---|---|---|
| décimo | 0,1 | 23,5 mm: cinco décimos de milimetro |
| centésimo | 0,01 | 0,98 N: oito centésimos de newton |
| milésimo | 0,001 | 0,104 mm: quatro milésimos de milimetro |
| décimo de milésimo | 0,0001 | 0,000 1 m: a espessura da folha, em metro |
Ler. O decimal se lê pela última ordem que ele ocupa: 23,5 é "vinte e três inteiros e cinco décimos"; 0,104 é "cento e quatro milésimos"; 0,005 é "cinco milésimos". No laboratório também se lê algarismo por algarismo ("zero vírgula um zero quatro"), e as duas leituras são corretas — desde que ninguém leia 0,104 como "zero vírgula cento e quatro", que mistura as duas e muda o número que o colega ouve.
Escrever. A vírgula separa a parte inteira, com 0 à esquerda quando o número é menor que 1 (0,5, e não ,5); em texto técnico, os algarismos se agrupam de três em três a partir da vírgula, com pequenos espaços (QGU, seção 3.5) — a mesma regra que a T0B apresentou.
Comparar. O erro mais comum é achar que mais algarismos significam número maior. Qual é maior: 0,5 ou 0,45? Iguale as casas — 0,50 e 0,45 — e compare: 0,5 é maior. A régua que mede 0,5 mm a mais não é a que "tem mais números".
Os zeros. No número puro, o zero à esquerda da parte inteira (023,5) e o zero à direita da parte decimal (23,50) não mudam o valor. Numa medida, o zero à direita muda a informação: 23,5 mm diz que o instrumento chegou ao décimo; 23,50 mm diz que chegou ao centésimo. É a ponte para o Tópico 2.
Aplicação — história. O decimal é recente. Em 1585 o engenheiro flamengo Simon Stevin publicou De Thiende ("O décimo"), um livreto que ensinava os comerciantes e agrimensores a fazer contas com decimais em vez de frações. Duzentos anos depois, o ouro de Ouro Preto ainda se pesava em oitavas — a oitava parte da onça —, num sistema em que cada degrau tinha o seu fator. Converter era fazer conta de fração. O decimal trocou isso por mover a vírgula.
Aplicação — prática docente. Peça a uma turma para ordenar 0,5; 0,45 e 0,405. Quem erra quase sempre escolhe 0,405 como o maior, "porque tem mais algarismos". O erro não é de atenção, é de modelo: o aluno está lendo a parte decimal como se fosse um número inteiro. Igualar as casas desfaz o modelo errado.
Lucas copiou 0,191 662 969 8 s porque a calculadora mostrou isso. Mas a régua que ele usou tem divisão de 1 mm. Uma pergunta resolve: quantos daqueles algarismos a régua sabe?
O que são. Os algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos mais o primeiro duvidoso. Na régua milimetrada, a borda de um objeto cai entre dois traços: os milímetros inteiros são certos, e o décimo de milímetro é estimado — é o duvidoso. A moeda medida com a régua daria algo como 23,5 mm: o 2 e o 3 são corretos, o 5 é duvidoso. Três algarismos significativos.
O que representam. A quantidade de algarismos significativos diz até onde o instrumento e o método chegaram. 2,3 kg e 2,300 kg têm o mesmo valor, mas o segundo afirma que a balança resolve o grama. Escrever algarismo que o instrumento não deu é inventar informação; omitir algarismo que ele deu é jogar informação fora.
Por que importam. Em medida científica, o número de algarismos é a primeira declaração de precisão — a T01 vai transformá-la em incerteza. Em medida industrial, a peça é aceita ou rejeitada pela tolerância: um eixo de 25,00 mm não é o mesmo pedido que um de 25 mm. Em medida comercial, a balança do mercado e a bomba de combustível têm a sua resolução fixada pela metrologia legal — e o consumidor paga pelo último algarismo.
| Regra | Exemplo | Significativos |
|---|---|---|
| todo algarismo não nulo é significativo | 23,5 mm | 3 |
| zero entre não nulos é significativo | 0,104 mm | 3 |
| zero à esquerda nunca é (só posiciona a vírgula) | 0,0052 kg | 2 |
| zero à direita depois da vírgula é | 2,30 s | 3 |
| zero à direita em número inteiro é ambíguo | 2 300 g | 2, 3 ou 4? |
| a potência de 10 desfaz a ambiguidade (Tópico 5) | 2,30 × 103 g | 3 |
O zero à esquerda não conta porque ele muda com a unidade: 0,0052 kg são 5,2 g — e a balança não ficou mais precisa ao trocar de unidade. Já o zero à direita depois da vírgula conta, porque alguém o leu no instrumento.
Instrumento e algarismos. Na régua milimetrada, o duvidoso está no décimo de milímetro; no paquímetro de 0,05 mm, no centésimo; na balança digital de 0,1 g, no décimo de grama — no instrumento digital, o último dígito do visor faz o papel de duvidoso.
Aplicação — metrologia. O Vocabulário Internacional de Metrologia chama de resolução a menor variação que o instrumento consegue indicar. Os algarismos significativos são a forma escrita da resolução: quem lê a sua medida descobre até onde o seu instrumento chegava sem precisar vê-lo.
Aplicação — prática docente. "Contar os significativos" vira decoreba de cinco regras quando falta a régua na mão. Comece pela régua: peça a três alunos a mesma medida e veja onde os três discordam. O algarismo em que eles discordam é o duvidoso — e tudo à esquerda dele é o que eles concordam ser verdade.
Agora Lucas sabe que a régua dá três algarismos para a distância de queda (18,0 cm) e que g foi usado com dois (9,8 m/s2. O tempo calculado não pode saber mais do que os dados que entraram na conta. Ele precisa cortar algarismos — e cortar tem regra.
Para que serve. O arredondamento garante que o resultado de um cálculo seja coerente com os instrumentos e os métodos usados na medição. A calculadora não sabe o que você mediu; você sabe.
O procedimento, em três passos.
| Primeiro descartado | O que fazer | Exemplo |
|---|---|---|
| menor que 5 | mantém o último | 0,1917 → 0,19 (2 significativos) |
| menor que 5 | mantém o último | 9,8432 → 9,84 (3 significativos) |
| maior que 5 | soma 1 ao último | 0,1047 → 0,105 (3 significativos) |
| igual a 5, e nada depois (ou só zeros) | regra do par: o último mantido fica par | 2,245 → 2,24 2,235 → 2,24 |
| igual a 5, seguido de algarismo não nulo | soma 1 ao último | 2,2451 → 2,25 |
A regra do par. Quando o primeiro dígito descartado é exatamente 5 — sem nada depois, ou só com zeros —, o número está exatamente no meio entre as duas opções. Arredondar sempre para cima, nesse caso, empurraria todos os resultados de uma série para o mesmo lado. A regra do par decide pelo último algarismo mantido: se ele é par, fica; se é ímpar, sobe para o par seguinte. Em muitos arredondamentos, metade sobe e metade fica, e o desvio se cancela. É a regra adotada pelas normas técnicas de arredondamento.
O tempo de reação, arredondado. A conta é uma divisão e uma raiz: vale o critério dos algarismos significativos. A distância tem três (18,0 cm) e g tem dois (9,8 m/s2: o resultado fica com dois. No visor, 0,191 662 969 8 s. Último mantido: o 9. Primeiro descartado: o 1, menor que 5. Resultado: 0,19 s.
A folha, arredondada. 10,4 mm 100 folhas. O 100 é uma contagem, não uma medida: é exato e não limita os algarismos. Vale o da régua, três: 0,104 mm.
Arredonda-se uma vez, no fim. Arredondar cada etapa intermediária acumula erro. Guarde os algarismos da calculadora até o resultado final, e só então corte.
Aplicação — metrologia. A T01 vai dar a esses algarismos um número de incerteza, e a regra mudará de forma: o resultado se arredonda pela incerteza. Mas o gesto é o mesmo de hoje — escolher até onde vai, achar o último que fica, decidir o corte.
Aplicação — prática docente. A regra do par costuma surpreender: a escola ensina "de 5 para cima, arredonda para cima". Mostre a uma turma dez números terminados em 5, arredonde-os das duas maneiras e some. Com "sempre para cima", a soma arredondada sai sempre maior que a verdadeira; com a regra do par, ela fica perto. A regra deixa de ser capricho e vira honestidade estatística.
A aceleração da gravidade é 9,8 m/s2. O "quadrado" do segundo é uma potência, e por trás de cada unidade derivada do QGU há uma conta com expoentes. Sem as propriedades da potenciação, a unidade vira enfeite.
O conceito. a^n é o produto de n fatores iguais a a: 103 = 10 × 10 × 10 = 1 000. O a é a base; o n, o expoente.
| Propriedade | Regra | Número e unidade |
|---|---|---|
| produto de mesma base | a^m · a^n = a^m+n | 102 · 103 = 105 · m2 · m = m3 |
| quociente de mesma base | a^m / a^n = a^m-n | 105 / 102 = 103 · m3/m2 = m |
| potência de potência | (a^m)^n = a^m · n | (1032 = 106 · (m23 = m6 |
| potência de um produto | (a · b)^n = a^n · b^n | (2 · 10)3 = 8 · 103 · (10 cm)3 = 103 cm3 |
| expoente zero | a0 = 1 (a ≠ 0) | 100 = 1 · m2/m2 = m0 = 1 |
| expoente negativo | a^-n = 1/a^n | 10−3 = 1/1 000 · s−1 = 1/s |
Por que o expoente zero dá 1. Pela regra do quociente, 103/103 = 103-3 = 100. Mas qualquer número não nulo dividido por ele mesmo dá 1. Então 100 = 1 — não é convenção arbitrária, é consequência.
Por que o expoente negativo é inverso. Pela mesma regra, 102/105 = 10−3; e 100/100 000 = 1/1 000. O expoente negativo é só a fração escrita de outro jeito — e é por isso que o QGU escreve m/s2 ou m·s−2, as duas formas.
A ponte com o QGU. A seção 3.4.2 do QGU diz que o expoente afeta o prefixo junto com a unidade: dm3 = (10−1 m)3 = 10−3 m3. É a potência de um produto, aplicada. Do mesmo jeito, 1 cm3 = (10−2 m)3 = 10−6 m3 — a conta que a T02 vai pedir para a densidade dos cilindros.
Aplicação — metrologia. A unidade derivada é um produto de potências das unidades de base: o newton é kg·m·s−2. Conferir os expoentes de um resultado é a primeira conferência de qualquer conta — se a força saiu em kg·m·s−1, a conta está errada antes de qualquer número.
Aplicação — prática docente. O erro clássico é somar as bases: 23 · 22 = 45. Ele desaparece quando o aluno escreve os fatores por extenso uma única vez — (2·2·2)·(2·2) — e conta. A regra deve vir depois da contagem, nunca antes.
A espessura da folha é 0,000 104 m. A constante de Planck, que define o kilograma, é 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662 607 015 J s. Ninguém escreve isso duas vezes sem errar um zero. A potência de 10 existe para que ninguém precise.
Mover a vírgula. Multiplicar por 10^n desloca a vírgula n casas para a direita; multiplicar por 10^-n, n casas para a esquerda. 1,04 × 102 = 104; 1,04 × 10−4 = 0,000 104. Faltando algarismo, completa-se com zeros.
Escrever em potência de 10. A notação científica escreve o número como a × 10^n, com 1 ≤ a < 10. O procedimento:
| Medida | Potência de 10 | O que a vírgula fez |
|---|---|---|
| moeda: 0,0235 m | 2,35 × 10−2 m | andou 2 casas para a direita |
| folha: 0,000 104 m | 1,04 × 10−4 m | andou 4 casas para a direita |
| peso: 0,98 N | 9,8 × 10−1 N | andou 1 casa para a direita |
| massa de 100 g: 0,100 kg | 1,00 × 10−1 kg | andou 1 casa (e os zeros à direita ficaram) |
| 1 ua: 149 597 870 700 m | 1,495 978 707 × 1011 m | andou 11 casas para a esquerda |
Operar. Multiplicar e dividir em notação científica é o Tópico 4 aplicado: multiplicam-se os números e somam-se os expoentes; dividem-se os números e subtraem-se os expoentes. (2,0 × 103 · (3,0 × 10−5 = 6,0 × 10−2.
Três ligações. Os prefixos do QGU são potências de 10 com nome: 10−4 m = 100 × 10−6 m = 100 µm. As constantes da Tabela 1 do QGU só cabem nessa escrita: h = 6,626 070 15 × 10−34 J s. E a potência de 10 resolve a ambiguidade do Tópico 2: 2 300 g com três significativos é 2,30 × 103 g, sem dúvida.
Aplicação — história. No século III a.C., Arquimedes escreveu O Contador de Areia para responder a quem achava que os grãos de areia eram infinitos. Para escrevê-los, inventou um sistema de ordens de números que crescem por potências — e estimou quantos grãos caberiam no universo que ele conhecia. É a ideia da notação científica, quase dois mil anos antes da notação.
Aplicação — prática docente. O sentido da vírgula é o erro mais teimoso: expoente negativo "vai para a direita" ou "para a esquerda"? Em vez de decorar, faça o aluno conferir com um número fácil: 10−1 é 0,1, menor que 1; então multiplicar por 10−1 tem de diminuir o número — a vírgula vai para a esquerda.
O tempo de reação, reescrito. Volte ao Roteiro de Bancada de Lucas. O que ele copiou — 0,191 662 969 8 s — agora tem diagnóstico completo: é um decimal que se lê "zero vírgula um nove" (Tópico 1); os dados davam dois algarismos significativos (Tópico 2); a divisão pede o critério dos significativos, o último mantido é o 9 e o descartado é 1 (Tópico 3); a fórmula tem s2 e uma raiz quadrada, potências de expoente 2 e 1/2 (Tópico 4); e o resultado, em potência de 10, é 1,9 × 10−1 s (Tópico 5). A linha certa no Roteiro: 0,19 s.
Cinco ferramentas para uma linha. É assim em toda trilha de bancada daqui para a frente: a T01 acrescenta a incerteza, a T02 a densidade (kg/m3, com cm3 convertido por potência), a T05 a reta ajustada — e cada uma pressupõe que estas cinco já estão na mão.
Agora a Folha de Atividades. Oito itens por tópico, do reconhecer ao criar. O placar mostra em que tópico voltar. E na T02, em 20/10, o encontro começa por ela.
Em 1977, os designers americanos Charles e Ray Eames lançaram um filme de nove minutos chamado Powers of Ten. O subtítulo diz tudo: um filme sobre o tamanho relativo das coisas no universo e o efeito de acrescentar mais um zero. Começa num casal fazendo piquenique num gramado de Chicago, num quadrado de um metro de lado. A cada dez segundos, a câmera se afasta uma potência de dez: dez metros, cem metros, a cidade, o planeta, o Sistema Solar, a galáxia — até 1024 m. Depois volta, e mergulha na mão do homem que dorme: a pele, a célula, o DNA, o átomo, o núcleo — até 10−16 m.
É o Tópico 5 em imagem, e é mais do que isso. O filme mostra que mudar o expoente é mudar de mundo: a regra é a mesma a cada passo — multiplicar por dez —, mas o que aparece no quadro é outro. A mesma coisa acontece com a sua medida quando a vírgula anda uma casa para o lado errado.
Três cérebros, o mesmo gesto. Paulo Freire viu que ninguém ignora tudo nem sabe tudo, e fez da lacuna o ponto de partida; Simon Stevin, que abre a sua Folha de Atividades, trocou as frações dos comerciantes pelo décimo e ensinou todo mundo a contar do mesmo jeito; e Charles e Ray Eames puseram a potência de dez em movimento, um zero de cada vez. Partir do que falta, contar com a ferramenta certa, ver a escala inteira — três criações do mesmo cérebro, como escreveu Miguel Nicolelis.
CAMPOS, A. A.; ALVES, E. S.; SPEZIALI, N. L. Física experimental básica na universidade. 2. ed. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2008.
PIACENTINI, J. J. et al. Introdução ao laboratório de física. 2. ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 2018.
SANTORO, A. et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 2. ed. Rio de Janeiro: EdUERJ, 2013.
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. L. Feynman: lições de física. Porto Alegre: Bookman, 2008. v. 1, 2 e 3.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
INMETRO. Quadro Geral de Unidades de Medida no Brasil. [S. l.]: Inmetro, 2021.
INMETRO. Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM): conceitos fundamentais e gerais e termos associados. Duque de Caxias: Inmetro, 2012.
FREIRE, P. A importância do ato de ler: em três artigos que se completam. São Paulo: Cortez, 1989.
STEVIN, S. De Thiende. Leiden: Christoffel Plantijn, 1585. (abre a Folha de Atividades desta trilha)
EAMES, C.; EAMES, R. Powers of Ten. Filme, 9 min. Estados Unidos: IBM, 1977.
ARQUIMEDES. O Contador de Areia. Século III a.C.